leetcode124.二叉树中的最大路径和

题目

路径 被定义为一条从树中任意节点出发，沿父节点-子节点连接，达到任意节点的序列。同一个节点在一条路径序列中 至多出现一次 。该路径 至少包含一个 节点，且不一定经过根节点。

路径和 是路径中各节点值的总和。

给你一个二叉树的根节点 root ，返回其 最大路径和 。

示例 1：

输入：root = [1,2,3]
输出：6
解释：最优路径是 2 -> 1 -> 3 ，路径和为 2 + 1 + 3 = 6

示例 2：

输入：root = [-10,9,20,null,null,15,7]
输出：42
解释：最优路径是 15 -> 20 -> 7 ，路径和为 15 + 20 + 7 = 42

提示：

• 树中节点数目范围是 [1, 3 * 104]
• -1000 <= Node.val <= 1000

解答

1. 树形DP
   1. 首先判断当前节点是否为 null，若为 null 则返回 0。
   2. 递归计算当前节点的左子树和右子树的最大路径和，分别为 left 和 right。
   3. 计算当前子树中包含当前节点的最大路径和 curMax，公式为 node->val + max(0, max(left, right))，其中 node->val 表示当前节点的值，max(left, right) 表示当前子树中不包含当前节点的最大路径和，max(0, ...) 的作用是保证当前子树中的路径和一定是非负数。
   4. 更新全局最大路径和 res，公式为 max(res, left+right+node->val)，其中 left+right+node->val 表示当前子树中包含当前节点的路径和。
   5. 返回当前子树的最大路径和 curMax。

在递归计算时，每个节点都会计算自己为根节点的最大路径和，并更新全局最大路径和。最终返回的是整棵树中的最大路径和。

这种递归思路在处理树形结构的问题时非常常见，被称为树形 DP（动态规划）。通过递归计算子树的最大路径和，并将结果传递给父节点，最终得到整棵树的最大路径和。C++代码实现如下:

class Solution {
public:
    int maxPathSum(TreeNode* root) {
        int res = INT_MIN;
        dfs(root, res);
        return res;
    }

    int dfs(TreeNode* root, int& res) {
        if (!root) return 0;
        int left = max(0, dfs(root->left, res)); // 左子树的最大贡献值
        int right = max(0, dfs(root->right, res)); // 右子树的最大贡献值
        res = max(res, root->val + left + right); // 更新最大路径和
        return root->val + max(left, right); // 返回当前子树的最大路径和
    }
};